Data: 21/04/2020 - Professora: Maria Batista - Disciplina: Matemática - Conteúdo: Produtos Notáveis.

Bom dia! Veja o vídeo com carinho, é para você.

https://www.youtube.com/watch?v=R0S4zTGdszk

Produtos Notáveis

No 8^o ano você estudou monômios e polinômios. Vamos relembrar?
Denomina-se monômio ou termo algébrico toda expressão algébrica representada apenas por um número, ou apenas por uma variável, ou por uma multiplicação de números e variáveis em que a variável não esteja nem no denominador
nem no radical.

Assim, são exemplos de monômios:
3x     7y     x²    abc     4x

Já um polinômio é qualquer adição algébrica de monômios.
São exemplos de polinômios as seguintes expressões:
ab + x² + 3x        9z + 3y         3x + 2y _ x² + y²         y _ 2x 

A área da figura é dada pela soma das áreas das figuras
Adicionamos, então, as áreas das duas figuras:

1  e 2 ab + x2. Assim, a área dessa figura é dada pela soma ab + x2
Observações:
• Qualquer monômio é considerado um polinômio.
• Os monômios que formam um polinômio são denominados termos do polinômio.
Assim:
2xy é um polinômio de um só termo (monômio)
100x + 10y + 2 é um polinômio de três termos: 100x, 10y e 2
Quadrado da soma;

1.     Quadrado da diferença; 

2.     Produto da soma pela diferença; 

3.     Cubo da soma;

4.     Cubo da diferença.

1. Quadrado da soma

O quadrado de um soma é o produto notável que representa a expressão  (x + a)(x + a). Ele é chamado dessa forma pois a representa a potência deste produto:

(x + a)²

O resultado do produto notável apresentado sempre será o polinômio abaixo:

(x + a)² = x² + 2xa + a²

O produto notável final apresentado terá como resultado final uma fórmula que pode ser aplicada em qualquer hipótese em que tiver uma soma elevada ao quadrado. Ou seja, o quadrado do primeiro termo mais duas vezes o primeiro, vezes o segundo mais o quadrado do segundo termo.

2. Quadrado da diferença

A fórmula do quadrado da diferença é: 

(x – a)(x – a)

O produto apresentado pode ser desenvolvido da forma a seguir:

(x – a)²

O seu resultado será:

(x – a)² = x² – 2xa + a²

O produto notável apresentado pode ser descrito da seguinte forma: O quadrado do primeiro termo menos duas vezes o primeiro vezes o segundo mais o quadrado do segundo termo.

3. Produto da soma pela diferença

O produto da soma pela diferença relaciona uma soma e uma outra subtração. Veja:

(x + a)(x – a)

Não existindo representação em potência para essa situação, porém o resultado final será determinado pela expressão abaixo:

(x + a)(x – a) = x² – a²

Ou seja,

O quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo.

4. Cubo da soma

Com a mesma propriedade distributiva utilizada, é possível desenvolver um meio para produtos da seguinte maneira:

(x + a)(x + a)(x + a)

Em potência, ele é representado desta forma:

(x + a)³

Logo, a partir da propriedade distributiva e com a simplificação, desenvolvemos a seguinte expressão:

(x + a)³ = x³ + 3x²a + 3xa² + a³

Exemplo: 

 Para calcular (x + 5)³, desenvolve-se:

(x + 5)³ = x³ + 3x²5 + 3×5² + 5³ = x³ + 15x² + 75x + 125

5. Cubo da diferença

O cubo da diferença é os polinômios:

(x – a)(x – a)(x – a)

Podemos encontrar o seguinte resultado para esse produto, se simplificarmos:

(x – a)³ = x³ – 3x²a + 3xa² – a³

Faça os Exercícios de Produtos Notáveis e confira as respostas no gabarito.

Exercícios 

1) Ao entrar na sua sala de aula, Pedro encontrou as seguintes anotações no quadro:

Usando seus conhecimentos sobre produtos notáveis, Pedro determinou corretamente o valor da expressão a² + b². Esse valor é:

a) 26

b) 28

c) 32

d)3

2) Aplique a propriedade distributiva e agrupe os termos semelhantes

a) (x + 2) . (2x – 5) =                  

b) (x +3) . ( x – 1) =                   

c) (2x⁴ – 2) . ( x⁴ + 3) =                                             

3) Resolva os produtos notáveis

a) (x² - 5)² =

b) ( 3x³ - 1)² =

c) (2x – 8 )² =



d) (2x + 4y )² =

e) ( 3x - 2a )² =

f) (1/4 - x )² =



g) ( + 1)² =

h) (3x – 1). (3x + 1)=

i) (4x² + 6).(4x² - 6)=



j) (3x + 1).(3x + 1) =

l) (x – 4).(x – 4) =

m) (3x -2) . (3x + 2)=



4) Nas afirmações abaixo, marque V para as verdadeiras e F para as falsas . Escreva as alternativas falsas de forma correta.

I) (a + b)² podemos resolver fazendo o quadrado do primeiro termo mais duas vezes o primeiro termo vezes o segundo termo mais o quadrado do segundo termo.  (        )

II) Podemos afirmar que a expressão (a - b)² representa a diferença entre dois quadrados.(    )

III) O produto da soma pela diferença entre dois termos pode ser resolvida pelo quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo.  (       )

IV) (6x – 4a)² = 36x² - 24ax + 16a²  (          )          v) (3x² - 2).(3x² + 2) = 9x² - 4    (           )

5) Determine o valor das expressões e agrupe os termos semelhantes

a) ( x  + 2 )² - ( x+2 ). (x - 2 ) – (x + 3)²                                     b) ( 2x²  - 1 ) .( 2x²  + 1) .3x  - (2x + 1)²

6). Utilizando o que aprendeu sobre produtos notáveis, escreva o polinômio
correspondente a:
a) (8x + 1)(8x _ 1) =

b) (10 + 3x)²⁼

c)(7a _ b)⁼

d) (x + 0,5y)² =
e) (ax + b)(ax _ b)=
f) (a2 _ 4y)2 =
g) (1,4 _ abc)(1,4 + abc)=
h) (a³ + b³)² =
i) (x⁴ + 5y³)² =

7). Qual é o polinômio que obtemos quando
multiplicamos:
a) 3x2 - 2c por 3x2 + 2c?

b) a2 b2 + 2,5c por a2 b2 - 2,5c?

8). (Saresp-SP) O polinômio 9x2- 25 é equivalente a:
a) (3x + 5)(3x _ 5)
b) (3x + 5)(3x + 5)
c) (3x - 5)(3x- 5)
d) 3x(3x - 25)

9. (Saresp-SP) A expressão x² - a² é equivalente a:.
a)-2ax
b) (x- a)2
c) (x + a)2
d) (x - a)(x + a)

10– A diferença entre o quadrado da soma e o quadrado da diferença entre dois números reais é igual a:

a) a diferença dos quadrados dos dois números.

b) a soma dos quadrados dos dois números.

c) a diferença dos dois números.

d) ao dobro do produto dos números.

e) ao quádruplo do produto dos números.