Data: 14/04/2020 - Professora: Maria Batista - Disciplina: Matemática - Conteúdo: Racionalização

Bom dia!

• Hoje vamos estudar um pouco mais sobre Racionalização de Denominadores.
• Portanto leia com atenção texto para resolver com facilidade os seguintes exercícios. 

Racionalização de denominadores é uma técnica para tornar frações com denominadores irracionais em racionais.

As frações cujo denominador é uma raiz, podem ser transformadas em uma fração com denominador que não seja uma raiz, sem alterar o seu resultado.
Utilizamos a técnica de racionalização de denominadores para facilitar o cálculo, pois trabalhar com números irracionais é um pouco complicado. Além disso, números irracionais apresentam pouca precisão no resultado final.
Multiplicaremos o numerador e denominador pelo mesmo número com a finalidade de eliminar a raiz do denominador. Esse processo transformará uma fração com denominador irracional em uma fração equivalente.

Índice do Artigo

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• Racionalizando denominadores de uma fração
• Racionalização de Denominadores com uma Raiz Quadrada
• Racionalização de Denominadores com uma Raiz não Quadrada

Racionalizando denominadores de uma fração

Para racionalizar denominadores precisamos eliminar o denominador irracional, faremos isso conhecendo alguns métodos do mais simples para os mais complexos.

Racionalização de Denominadores com uma Raiz Quadrada

Racionalizar uma fração com raiz quadrada no denominador é o caso mais simples.
Exemplo:
Considere a seguinte fração:

Para racionalizar frações com denominadores que são raízes quadradas, devemos multiplicar toda a fração pela mesma raiz quadrada do denominador. Assim:

Nesse caso, dizemos que √2 é o fator racionalizante da fração.
De acordo com a propriedade de radiciação, eliminamos a raiz quadrada multiplicando a raiz por ela mesma, pois √2 . √2 = 2.
Exemplo:
Considere a seguinte fração:

Da mesma forma, racionalizá-la é multiplicar toda a fração por √10, assim:

Bom, como você já viu, caro leitor, racionalizar frações com raiz quadrada é extremamente simples. Vamos agora ver quando a fração não possui um denominador com uma raiz quadrada.

Racionalização de Denominadores com uma Raiz não Quadrada

Para as frações cujo denominadores não são raízes quadradas, isto é, quando o índice não é 2, temos que seguir a seguinte regra:
Quando multiplicarmos uma fração com denominador:

Devemos multiplicar o numerador e denominador da fração por:

pois,

Exemplo:
Considere a seguinte fração:

Onde:

• n = 5;
• p = 2.

Nessa passo é importante saber as propriedades de radiciação.
Quando temos uma fração um denominador com uma soma ou subtração, o fator racionalizante é o seguinte:

• √a – √b o fator racionalizante é √a + √b;
• √a + √b o fator racionalizante é √a – √b;
• √a + b o fator racionalizante é √a – b;
• √a – b o fator racionalizante é √a + b;
• a + √b o fator racionalizante é a – √b;
• a – √b o fator racionalizante é a + √b;

Ou seja, quando temos uma soma ou subtração no denominador, o fator racionalizante é o mesmo denominador com a operação inversa. Se for uma soma trocamos o sinal para a subtração e vice-versa.
Exemplo:
Considere a seguinte fração:

Racionalizar o denominador dessa fração é multiplicar o numerador e denominador por √3 – 2, assim:

Se tivermos uma fração cujo denominador é uma soma ou subtração, sendo um dos dois uma raiz cúbica, devemos multiplicar o numerador e denominador obedecendo o seguinte:

• Se for uma soma: a² – ab + b²;
• Se for uma subtração: a² + ab + b².

Exemplo:
Considere a fração a seguir:

Vamos racionalizá-la seguindo as regras acima, assim:

Veja como multiplicamos o denominador fazendo a distributiva:

Lembrando que 8 = 2³.
Lembrete:

• a³ + b³ = (a + b)(a² – ab + b²);
• a³ – b³ = (a – b)(a² + ab + b²).

Bons estudos!

Atividades:

1) Racionalize o denominador da fração: 

2) Racionalize a fração: 

3) Racionalize a fração: 

4) Racionalize a fração: 

5) Racionalize o denominador da fração: 

6) Racionalize a seguinte expressão: 

7) Racionalize o denominador de cada expressão abaixo.

 (a) 1/ √ 3=

 (b) 4 /√ 2 =

(c) 2 3/ √ 3=

 (d) √ 2/ √ 3 =

(e) √ x y/ √y =

(f) y /√xy=

 (g) 2/ √3 2= 

(h) 1 /√3 4 =

(i) 2 /√4 8 =

(j) 2 /√4 36 =

(k) xy/ √5 x=

 (ℓ) y /√3 xy =  

 (m) 1 /1 + √ 2=

 (n) 2/ √ 5 − 1 =

(o) √ 2/ 3 − √ 2 =

8). (PUC-SP) O valor da expressão (√ 3 + √ 5 + √ 3 − √ 5 )/2 é a) 10       b) 25   c) 10 − 2 √ 6      d) 10 + 2√ 6      e) 6 − 2 √ 5

 9). Calcule o valor de cada expressão.

 (a) √ 22/ √ 22 − √ 21 − √ 21 /√ 22 − √ 21

(b) √ 3 + 2√ /2 √ 3 − 2 √ 2 + 2 √ 2 − √ 3/ √ 3 + 2√ 2